数量排列组合类题到底如何攻克？—插空法来给你解答

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　　数量关系通常考查小伙伴们生对数学基本思维和计算的掌握程度，其中“排列组合”一直都是数量关系中相对较难的一个章节，要想学好排列组合，不仅要掌握排列、组合、分类、分步等基本概念，更要熟悉具体的技巧方法。今天，大脸就来带各位小伙伴们一起看一下其中一种比较常用的解题方法—插空法。

　　什么样的题型可以使用插空法呢?我们来看一个例子：

　　【示例】把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?

　　A. 36 B. 50

　　C. 100 D. 400

　　【答案】C

　　【解析】

　　第一步，本题考查排列组合问题，属于方法技巧类。

　　第二步，利用每侧柏树“相等”可得，每侧3棵柏树，松树有9-3=6(棵)。根据“不相邻”用插空法，去掉起点和终点，6棵松树之间有5个空，故柏树种植情况有=10(种)。

　　第三步，根据“两侧”植树，可得总的种植方法为10×10=100(种)。

　　因此，选择C选项。

　　由于本题明确要求柏树“不相邻”，可优先排好松树，然后将柏树插入松树形成的空隙中，即可满足题意。此题需要注意，道路的起点与终点两侧种植的都必须是松树，故柏树在插空时，每侧只能选择6棵松树间的5个空，不可插到松树的外侧。

　　除了上述题目，我们在今后做题过程中，遇到什么样特征的题目可以使用插空法解题呢?通常情况下，分为以下三类：

　　①出现要求不相邻、不相连、不连续等标志词;

　　【例】某兴趣组有男女生各5名，他们都准备了表演节目。现在需要选出4名学生各自表演1个节目，这4人中既要有男生、也要有女生，且不能由男生连续表演节目。那么，不同的节目安排有多少种?

　　A. 1200 B. 2400

　　C. 3000 D. 3600

　　【答案】B

　　【解析】

　　第一步，本题考查排列组合问题，属于方法技巧类。

　　第二步，根据不能由男生连续表演节目可采用插空法，先从男生和女生中选取所需要的人数，然后安排女生表演节目，最后将男生的节目插入到女生的节目之间，需要考虑顺序。有以下两种情况：

　　①1男3女，安排方式有(种);

　　②2男2女，安排方式有(种)。

　　第三步，总安排方式为1200+1200=2400(种)。

　　因此，选择B选项。

　　此题与示例类似，但在解题过程中需考虑分类与分步，当选择了1个男生时，无论如何安排都不会“连续”;当选择了3个男生时，无论如何安排都一定“连续”;当2男2女时，需先安排好女生再将2个男生插到女生排列后形成的空中去，即可满足题意，此时先安排2名女生，可形成3个空。

　　②出现要求至少有2个相邻的标志词;

　　【例】某篮球队12个人的球衣号码是从4到15的自然数，若从中选出3个人参加三对三篮球比赛，则选出的人中至少有两人的球衣号码是相邻自然数的概率为多少?

　　A. B.

　　C. D.

　　【答案】C

　　【解析】

　　第一步，本题考查概率问题，属于基本概率，用插空法解题。

　　第二步，要求选出的人中至少有两人相邻的概率，则可用1减去选出的3个人均不相邻的概率。12个人选出3人后剩9个人，可以想象为把选出的3个人插到9个人所形成的10个空中，则这三人必定均不相邻，故三个人均不相邻的概率。

　　第三步，因此至少两个人相邻的概率=。

　　因此，选择C选项。

　　此题与示例类似，用插空法解题，但区别在于此题若正面求解则相对情况较多，故可反向思考用总的情况减去“不符合题意”(即3个人的号码均“不相邻”)的情况，此时便转化为了插空法的题目特征，可顺利进行求解。

　　③出现相邻的2个中至少有1个有特殊要求的标志词。

　　【例】某条道路一侧共有20盏路灯。为了节约用电，计划只打开其中的10盏。但为了不影响行路安全，要求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，则共有( )种开灯方案。

　　A. 2 B. 6

　　C. 11 D. 13

　　【答案】C

　　【解析】

　　第一步，本题考查排列组合问题，属于方法技巧类，用插空法解题。

　　第二步，一侧共20盏灯，打开其中10盏，则熄灭10盏，相邻两盏灯中至少有一盏是打开的，则熄灭的灯不能相邻，将10盏熄灭的灯插到10盏打开的灯形成的11个空中，共有(种)开灯方案。

　　因此，选择C选项。

　　这道题目相对较为复杂，虽然也使用到插空法，但解题的难点在于将已知条件转化为我们较为熟悉的语言，相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，即关闭的路灯“不相邻”，只有理解了此题的关键信息才可利用插空法顺利解题。

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